负责抓狗的部门主要是 公安机关和城市管理部门。具体来说：
公安机关是主要的执法机构，负责查处违法养犬行为，包括无证养犬、违法携犬外出等。
在一些城市，公安机关内部设有抓狗大队或类似机构，专门负责流浪犬的捕捉、收容和处理。
公安机关还负责处理因养犬引起的治安案件，如犬只扰民、伤人等。
城市管理部门负责犬只登记、养犬场所的管理等工作。
部分城市由市容环境卫生管理部门或城管执法局主管，负责查处街面流动无照售犬行为和因养犬而破坏市容环境卫生的行为。
城市管理部门还负责设立流浪狗收容所、开展流浪狗绝育工作等。
农业农村部对宠物行业进行监管，制定了一系列宠物养殖、销售、运输等方面的规定。
县级以上地方人民政府农业农村主管部门负责组织实施动物疫病强制免疫计划，并对饲养动物的单位和个人履行强制免疫义务的情况进行监督检查。
专门的宠物救助组织如“爱护动物协会”等，也会积极参与流浪狗的救助和管理工作，提供临时救助、医疗救治和安乐死等服务。
建议：
如果遇到违法养犬行为或流浪犬问题，可以直接拨打当地公安机关的报警电话110进行举报。
居民应当遵守当地的养犬法规，合法合规地饲养狗狗，以减少相关问题的发生。
